Сын Б. И. Княжнина, товарища псковского воеводы, прокурора в Канцелярии строений. С 1750 г. «обучался на коште отца» в Академической гимназии, где в совершенстве овладел, в частности, французским и немецким языками. В 1755 г. был произведен Сенатом «коллегии юнкером» в Юстиц-коллегию лифляндских и эстляндских дел. Один из крупнейших драматургов русского классицизма. В 1780-е и 1790-е гг. княжнинские пьесы, как оригинальные, так и переводные, составляли основу репертуара русских театров.
Изучив итальянский язык, в 1757 г. поступил переводчиком в Канцелярию от строений, где «по многим происходимым <…> текущим делам переводы переводил на немецком, французском и италиянском языках». Перевел с немецкого первый том труда по гражданской архитектуре. В 1762 г. перешел на военную службу. В конце 1750-х гг. познакомился с А. П. Сумароковым, публиковался в журналах М. М. Хераскова. В 1769 г. был напечатан выполненный Княжниным с итальянского перевод книги В. М. Коронелли «Записки исторические о Морее, о царстве Негропонтском и прочих близлежащих местах», а в 1771 г. — перевод с французского «Несчастные любовники» (роман Ш.-О д’Аржанталя, написанный совместно с К.-А. Герен де Тансен и А.-Ф. де Пон де Вейлем). В трагедии «Ольга» он переделал на «русский лад» трагедию Вольтера «Меропа», местами почти точно воспроизведя оригинал. Возможно, эта трагедия, содержавшая аллюзии на узурпацию властью Екатериной II, стала причиной суда над Княжниным за растрату казенных денег.
Выполнял многочисленные заказы для Собрания, старающегося о переводе иностранных книг, и новиковского Общества, старающегося о напечатании книг. Переводил трагедии П. Корнеля «Сид» (прозой), «Смерть Помпеева», «Гораций», «Цинна» (белыми стихами), его же комедию «Лжец» (прозой) и поэму Д. Марино «Избиение младенцев», поэму Вольтера «Генрияда» и т.д. По требованию императрицы создает музыкальную трагедию «Титово милосердие», опираясь на трагедию П.-Л. Бюирета де Беллуа «Тит» и оперу П. А. Д. Метастазио «Титово милосердие». В 1777 г. Княжнин подал прошение о зачислении его переводчиком в Контору строения домов и садов, куда и был определен, исполнял секретарские обязанности при директоре конторы И. И. Бецком. Сотрудничал в разных журналах, где публиковал свои переводы С. Геснера, П.-О.-К. Бомарше и др. В 1783 г. назначен членом Российской Академии, принимал участие в составлении «Словаря Академии Российской». В последующие годы сочинил ряд прославивших его произведений, в том числе популярных комических опер, комедий и трагедий.